Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ в прямоугольном треугольнике $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH$, если $PK=12$.

Question

Вопрос: $Фото задания: Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ в прямоугольном треугольнике…$ Фото задания

Точка $H$ является основанием высоты $BH$, проведённой из вершины прямого угла $B$ в прямоугольном треугольнике $ABC$. Окружность с диаметром $BH$ пересекает стороны $AB$ и $CB$ в точках $P$ и $K$ соответственно. Найдите $BH$, если $PK=12$.

Accepted Answer

Поскольку $P$ и $K$ лежат на окружности с диаметром $BH$, углы $BPH$ и $BKH$ прямые. Значит, $HP\perp AB$, а $HK\perp CB$. Так как $AB\perp CB$, отрезки $HP$ и $HK$ параллельны соответственно $CB$ и $AB$.

Четырёхугольник $BPHK$ — прямоугольник: его стороны попарно параллельны, а угол при $B$ прямой. Поэтому противоположные стороны равны: $PK=BH$.

Следовательно, $BH=12$.

Ответ: 12.