Середина \(M\) стороны \(AD\) выпуклого четырёхугольника \(ABCD\) равноудалена от его вершин. Найдите \(AD\), если \(BC=18\), а углы \(B\) и \(C\) четырёхугольника равны соответственно \(132^\circ\) и \(93^\circ\).

Точка \(M\) равноудалена от всех вершин, поэтому \(MA=MB=MC=MD\): вершины четырёхугольника лежат на окружности с центром \(M\). Поскольку \(M\) — середина \(AD\), отрезок \(AD\) является диаметром этой окружности.

Вписанные углы \(A\) и \(C\), опирающиеся на хорду \(BD\), supplementary: \(A+C=180^\circ\). Поэтому \(A=180^\circ-93^\circ=87^\circ\).

Хорда \(BC=18\) стягивает вписанный угол \(A\), значит, \(BC=AD\sin A\), так как \(AD\,\) — диаметр. Следовательно, \(AD=\frac{18}{\sin87^\circ}\approx18.025\).

Ответ: \(AD=\frac{18}{\sin87^\circ}\approx18.03\).