Постройте график функции y = |x|x+2|x|–3x. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Рассмотрим функцию y = |x|x+2|x|–3x.

Если x ≥ 0, то |x| = x. Тогда функция принимает вид:

$$y = x \cdot x + 2x - 3x = x^2 - x$$

Если x < 0, то |x| = -x. Тогда функция принимает вид:

$$y = -x \cdot x - 2x - 3x = -x^2 - 5x$$

Таким образом, функция имеет вид:

$$y = \begin{cases} x^2 - x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 5x, & x < 0 \end{cases}$$

Найдем вершину параболы y = x² - x для x ≥ 0:

$$x_v = \frac{-(-1)}{2 \cdot 1} = \frac{1}{2}$$ $$y_v = (\frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} = -\frac{1}{4}$$

Найдем вершину параболы y = -x² - 5x для x < 0:

$$x_v = \frac{-(-5)}{2 \cdot (-1)} = -\frac{5}{2}$$ $$y_v = -(-\frac{5}{2})^2 - 5(-\frac{5}{2}) = -\frac{25}{4} + \frac{25}{2} = \frac{25}{4}$$

Для прямой y = m, чтобы она имела с графиком ровно две общие точки, необходимо, чтобы она проходила через вершину одной из парабол или касалась графика в какой-то точке.

Если прямая проходит через вершину параболы y = x² - x, то m = -1/4.

Если прямая проходит через вершину параболы y = -x² - 5x, то m = 25/4.

Также, при m = 0 прямая y = 0 имеет две общие точки с графиком (x = 0 и x = 1).

Ответ: -0.25, 0, 6.25