22 Постройте график функции y = |x|(x + 1) - 6x. Определите, при каких значениях т прямая у = т имеет с графиком ровно две общие точки.

Построим график функции $$y = |x|(x + 1) - 6x$$.

Рассмотрим два случая:

1. Если $$x \geq 0$$, то $$|x| = x$$ и функция принимает вид: $$y = x(x + 1) - 6x = x^2 + x - 6x = x^2 - 5x$$.
2. Если $$x < 0$$, то $$|x| = -x$$ и функция принимает вид: $$y = -x(x + 1) - 6x = -x^2 - x - 6x = -x^2 - 7x$$.

Таким образом, функция задается кусочно:

$$y = \begin{cases} x^2 - 5x, & x \geq 0 \\ -x^2 - 7x, & x < 0 \end{cases}$$

Начертим график функции:

      |
      |
------|------
      |

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки, если она проходит через вершину одной из парабол или через точку, где одна парабола переходит в другую.

Найдем вершину параболы $$y = x^2 - 5x$$ при $$x \geq 0$$:

$$x_v = \frac{-(-5)}{2 \cdot 1} = \frac{5}{2} = 2.5$$

$$y_v = (2.5)^2 - 5(2.5) = 6.25 - 12.5 = -6.25$$

Вершина параболы: $$(2.5; -6.25)$$

Найдем вершину параболы $$y = -x^2 - 7x$$ при $$x < 0$$:

$$x_v = \frac{-(-7)}{2 \cdot (-1)} = \frac{7}{-2} = -3.5$$

$$y_v = -(-3.5)^2 - 7(-3.5) = -12.25 + 24.5 = 12.25$$

Вершина параболы: $$(-3.5; 12.25)$$

Точка перехода: $$x = 0$$, $$y = 0^2 - 5 \cdot 0 = 0$$ и $$y = -0^2 - 7 \cdot 0 = 0$$

Точка перехода: $$(0; 0)$$

Прямая $$y = m$$ имеет с графиком ровно две общие точки при $$m = -6.25$$ и при $$m = 0$$.

Ответ: -6.25 и 0