В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12. Найдите стороны треугольника АВС.

В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 12.

Найдите стороны треугольника АВС.

Пусть BE и AD пересекаются в точке О. Рассмотрим треугольник АВD. В нем ЕО является высотой и биссектрисой, значит, он равнобедренный, АВ = BD.

Так как AD – медиана, то BD = DC, следовательно, АВ = BD = DC.То есть, АС = 2АВ.

В треугольнике АВD медиана ЕО является и высотой, значит, АО = ОD = 1/2AD = 12/2 = 6.

Рассмотрим треугольник АОВ. В нем АО = 6, ВO = 12. По теореме Пифагора найдем АВ:

$$AB^2 = AO^2 + BO^2$$ $$AB^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$$ $$AB = \sqrt{180} = 6\sqrt{5}$$.

Тогда, АС = 2АВ = $$12\sqrt{5}$$.

Рассмотрим треугольник ВОD, он равен треугольнику АОЕ по первому признаку. Значит, АЕ = ОD = 6.

Т.к. ВЕ - биссектриса, то АВ/ВС = АЕ/ЕС. Отсюда ВС = АВ*ЕС/АЕ = $$6\sqrt{5} \cdot 6 / 6 = 6\sqrt{5}$$

Ответ: $$6\sqrt{5}; 12\sqrt{5}; 6\sqrt{5}$$