4. Постройте график уравнения (x² + y² + 6x8y)(√x + y) = 0.

Рассмотрим уравнение:

$$ (x^2 + y^2 + 6x - 8y)(\sqrt{x} + y) = 0 $$

Это уравнение выполняется, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. $$ x^2 + y^2 + 6x - 8y = 0 $$

$$ x^2 + 6x + 9 + y^2 - 8y + 16 = 9 + 16 $$

$$ (x + 3)^2 + (y - 4)^2 = 25 $$

Это уравнение окружности с центром в точке $$ (-3, 4) $$ и радиусом 5.

2. $$ \sqrt{x} + y = 0 $$

$$ y = -\sqrt{x} $$

Построим график этого уравнения. Заметим, что $$ x \ge 0 $$ и $$ y \le 0 $$.

4 | *

| *

| *

| *

---(-3)--------

* |

* |

* |

-√x |

-5 |

График представляет собой окружность с центром в точке (-3, 4) и радиусом 5, а также ветвь параболы y = -√x, где x ≥ 0.

Ответ: График состоит из окружности с центром в точке (-3; 4) и радиусом 5, а также графика функции y = -√x, где x ≥ 0