5. При каком значении параметра р система уравнений x² + y² = 10, x + y = p имеет три решения?

Рассмотрим систему уравнений:

$$\begin{cases} x^2 + y^2 = 10,\\ x + y = p. \end{cases}$$

Выразим y из второго уравнения: $$ y = p - x $$. Подставим в первое уравнение:

$$ x^2 + (p - x)^2 = 10 $$

$$ x^2 + p^2 - 2px + x^2 = 10 $$

$$ 2x^2 - 2px + p^2 - 10 = 0 $$

Чтобы система имела три решения, необходимо, чтобы дискриминант этого квадратного уравнения был равен нулю, а один корень совпадал с точкой касания.

$$ D = (2p)^2 - 4(2)(p^2 - 10) = 4p^2 - 8p^2 + 80 = -4p^2 + 80 $$

Если $$ D = 0 $$, то $$ -4p^2 + 80 = 0 $$, следовательно, $$ p^2 = 20 $$, $$ p = \pm 2\sqrt{5} $$.

При $$ p = 2\sqrt{5} $$ или $$ p = -2\sqrt{5} $$ система имеет одно решение. Но графически это означает касание прямой и окружности, т.е. 2 решения.

Рассмотрим случай, когда система имеет три решения. Это возможно, когда окружность пересекается с прямой в двух точках и один корень совпадает. В данном случае, это невозможно, следовательно, решений нет.

Ответ: Нет решений