2. Решите систему уравнений: б) x+2 3y - = 2, y x+2 xy = 16.

Решим систему уравнений:

$$\begin{cases} \frac{x+2}{y} - \frac{3y}{x+2} = 2,\\ xy = 16. \end{cases}$$

Пусть $$ t = \frac{x+2}{y} $$, тогда первое уравнение можно переписать как:

$$ t - \frac{3}{t} = 2 $$

$$ t^2 - 3 = 2t $$

$$ t^2 - 2t - 3 = 0 $$

$$ (t - 3)(t + 1) = 0 $$

$$ t_1 = 3, t_2 = -1 $$

Случай 1: $$ t = 3 $$, тогда $$ \frac{x+2}{y} = 3 $$, следовательно, $$ x+2 = 3y $$. Из второго уравнения $$ y = \frac{16}{x} $$, подставляем в первое уравнение:

$$ x + 2 = 3(\frac{16}{x}) $$

$$ x^2 + 2x = 48 $$

$$ x^2 + 2x - 48 = 0 $$

$$ (x + 8)(x - 6) = 0 $$

$$ x_1 = -8, x_2 = 6 $$

Соответствующие значения y:

$$ y_1 = \frac{16}{-8} = -2 $$

$$ y_2 = \frac{16}{6} = \frac{8}{3} $$

Случай 2: $$ t = -1 $$, тогда $$ \frac{x+2}{y} = -1 $$, следовательно, $$ x+2 = -y $$. Из второго уравнения $$ y = \frac{16}{x} $$, подставляем в первое уравнение:

$$ x + 2 = -\frac{16}{x} $$

$$ x^2 + 2x = -16 $$

$$ x^2 + 2x + 16 = 0 $$

$$ D = 4 - 4(16) = -60 < 0 $$, поэтому нет действительных решений.

Решения системы уравнений:

$$ (-8, -2) $$ и $$ (6, \frac{8}{3}) $$

Ответ: (-8; -2), (6; 8/3)