Постройте графики функций \( y = -\frac{3}{x} \) и \( y = x+4 \). Укажите координаты точек пересечения.

Решение:

1. График функции \( y = -\frac{3}{x} \) (гипербола):

• Область определения: \( x \neq 0 \).
• График расположен в II и IV координатных четвертях.
• Отметим несколько точек:
• При \( x = -3 \): \( y = 1 \)
• При \( x = -1 \): \( y = 3 \)
• При \( x = 1 \): \( y = -3 \)
• При \( x = 3 \): \( y = -1 \)

2. График функции \( y = x+4 \) (прямая):

• Отметим две точки:
• При \( x = 0 \): \( y = 4 \)
• При \( x = -4 \): \( y = 0 \)

3. Найдём точки пересечения графиков:

Приравняем выражения для \( y \):

\( -\frac{3}{x} = x+4 \)

Умножим обе части на \( x \) (при \( x \neq 0 \)):

\( -3 = x(x+4) \)

\( -3 = x^2 + 4x \)

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( x^2 + 4x + 3 = 0 \)

Решим это уравнение (например, по теореме Виета: сумма корней равна -4, произведение — 3):

\( x_1 = -1 \) и \( x_2 = -3 \).

Теперь найдём соответствующие значения \( y \), подставив \( x \) в уравнение прямой \( y = x+4 \):

• При \( x_1 = -1 \): \( y_1 = -1 + 4 = 3 \). Точка пересечения: \( (-1; 3) \).
• При \( x_2 = -3 \): \( y_2 = -3 + 4 = 1 \). Точка пересечения: \( (-3; 1) \).

Ответ: Точки пересечения графиков: \( (-1; 3) \) и \( (-3; 1) \).