Решить уравнение \( \frac{x}{x-2} - \frac{7}{x+2} = \frac{8}{x^2-4} \).

Решение:

1. Определим область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатели не должны быть равны нулю. \( x-2 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2 \), \( x+2 \neq 0 \Rightarrow x \neq -2 \). \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \), поэтому ОДЗ: \( x \neq 2 \) и \( x \neq -2 \).
2. Приведём все дроби к общему знаменателю \( x^2 - 4 \):

\( \frac{x(x+2)}{(x-2)(x+2)} - \frac{7(x-2)}{(x+2)(x-2)} = \frac{8}{x^2-4} \)

\( \frac{x^2 + 2x}{x^2-4} - \frac{7x - 14}{x^2-4} = \frac{8}{x^2-4} \)

3. Уберём знаменатели, приравняв числители:

\( x^2 + 2x - (7x - 14) = 8 \)

\( x^2 + 2x - 7x + 14 = 8 \)

4. Приведём подобные члены и получим квадратное уравнение:

\( x^2 - 5x + 14 - 8 = 0 \)

\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)

5. Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета (сумма корней = 5, произведение = 6):

\( x_1 = 2 \), \( x_2 = 3 \).

6. Проверим корни по ОДЗ. Корень \( x_1 = 2 \) не входит в ОДЗ, так как при \( x=2 \) знаменатель \( x-2 \) обращается в ноль. Поэтому \( x_1 = 2 \) — посторонний корень.
7. Корень \( x_2 = 3 \) входит в ОДЗ.

Ответ: \( x = 3 \).