Постройте графики и отметьте точки пересечения. Сколько точек пересечения может иметь гипербола \(y=\frac{k}{x}\) с прямой \(y=mx+b\)? Приведите примеры.

Приравняем значения функций: \(\frac{k}{x}=mx+b\), где \(x\ne0\). После умножения на \(x\) получаем \(mx^2+bx-k=0\). Число точек пересечения определяется числом ненулевых действительных корней этого уравнения.

• Две точки: \(y=\frac1x\) и \(y=x\). Уравнение \(x^2=1\), поэтому точки пересечения: \((-1;-1)\), \((1;1)\).
• Одна точка: \(y=\frac1x\) и \(y=2x+1\). Уравнение \(2x^2+x-1=0\) имеет корни \(x=-1\) и \(x=\frac12\) — стоп, это два корня. Возьмём касание: \(y=\frac1x\) и \(y=2x+2\). Тогда \(2x^2+2x-1=0\) также имеет два корня. Для единственной точки подойдёт горизонтальная прямая \(y=1\): она пересекает гиперболу \(y=\frac1x\) при \(x=1\), то есть в точке \((1;1)\).
• Ни одной точки: \(y=\frac1x\) и \(y=0\), поскольку \(\frac1x\ne0\).

При наклонной прямой в общем случае возможны 0, 1 или 2 пересечения; например, ровно одно пересечение получается также при касании. Для \(y=\frac1x\) прямая \(y=2x+\sqrt8\) касается гиперболы: уравнение \(2x^2+\sqrt8x-1=0\) имеет дискриминант 0.

Ответ: 0, 1 или 2 точки.