6. Постройте сечение правильной четырехугольной призмы ABCDA₁B₁C₁D₁ плоскостью, проходящей через ребро A₁B₁ и точку N - середину ребра BC. Найдите периметр полученного сечения, если AB = 10 см, AA₁ = 12 см.

Построение: 1. Проведем плоскость через ребро A₁B₁ и точку N. Поскольку A₁B₁ параллельно плоскости основания ABCD, то сечение будет трапецией A₁B₁NM, где M – точка на ребре CD. 2. Так как N - середина BC, и призма правильная четырехугольная, то M - середина CD. 3. Сечение - трапеция A₁B₁NM. A₁B₁ = AB = 10 см. 4. NM = AB = 10 см, так как NM - средняя линия основания. 5. Найдем боковые стороны A₁N и B₁M. Поскольку призма правильная, то все боковые грани - прямоугольники. A₁N = B₁M. 6. Рассмотрим прямоугольник A₁ABN. AN можно найти по теореме Пифагора в треугольнике ABN, где AB = 10 см, BN = 1/2 BC = 5 см. $$AN = \sqrt{AB^2 + BN^2} = \sqrt{10^2 + 5^2} = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5}$$ см. 7. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁N. A₁N можно найти по теореме Пифагора. $$A_1N = \sqrt{AA_1^2 + AN^2} = \sqrt{12^2 + (5\sqrt{5})^2} = \sqrt{144 + 125} = \sqrt{269}$$ см. Периметр сечения A₁B₁NM = A₁B₁ + B₁M + MN + NA₁ = 10 + $$\sqrt{269}$$ + 10 + $$\sqrt{269}$$ = 20 + 2$$\sqrt{269}$$ см. Ответ: 20 + 2$$\sqrt{269}$$ см.