169. При каких значениях a уравнение $$\frac{x^2-2ax+3}{x-2}=0$$ имеет единственный корень?

$$\frac{x^2-2ax+3}{x-2}=0$$ ОДЗ: $$x
eq 2$$ $$x^2 - 2ax + 3 = 0$$ Чтобы уравнение имело единственный корень, должны выполняться следующие условия: 1. Квадратное уравнение имеет единственный корень (дискриминант равен 0), и этот корень не равен 2. 2. Квадратное уравнение имеет два корня, один из которых равен 2. Случай 1: $$D = 0$$, $$x
eq 2$$ $$D = (-2a)^2 - 4(1)(3) = 4a^2 - 12 = 0$$ $$a^2 = 3$$ $$a = \pm \sqrt{3}$$ При $$a = \sqrt{3}$$: $$x = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}
eq 2$$ При $$a = -\sqrt{3}$$: $$x = \frac{-2\sqrt{3}}{2} = -\sqrt{3}
eq 2$$ Случай 2: Один из корней равен 2. $$x = 2$$ является корнем квадратного уравнения, то есть при подстановке $$x=2$$ в уравнение $$x^2-2ax+3=0$$ оно должно обращаться в верное равенство: $$2^2 - 2a(2) + 3 = 0$$ $$4 - 4a + 3 = 0$$ $$7 - 4a = 0$$ $$a = \frac{7}{4}$$ Проверим, что второй корень не равен 2 при $$a = \frac{7}{4}$$. $$x^2 - 2(\frac{7}{4})x + 3 = 0$$ $$x^2 - \frac{7}{2}x + 3 = 0$$ $$2x^2 - 7x + 6 = 0$$ $$D = (-7)^2 - 4(2)(6) = 49 - 48 = 1$$ $$x_1 = \frac{7+1}{4} = 2$$ $$x_2 = \frac{7-1}{4} = \frac{3}{2}$$ Так как один из корней равен 2, то при $$a = \frac{7}{4}$$ уравнение имеет только один корень $$\frac{3}{2}$$ Ответ: $$a = \pm \sqrt{3}, a = \frac{7}{4}$$