176. Знаменатель обыкновенной дроби на 11 больше её числителя. Если числитель этой дроби увеличить на 1, а знаменатель уменьшить на 2, то полученная дробь будет на 1/9 больше исходной. Найдите исходную дробь.

Пусть числитель дроби равен $$x$$, тогда знаменатель равен $$x + 11$$. Исходная дробь: $$\frac{x}{x+11}$$. После изменений числитель стал $$x+1$$, знаменатель стал $$x+11-2 = x+9$$. Новая дробь: $$\frac{x+1}{x+9}$$. Новая дробь на $$\frac{1}{9}$$ больше исходной: $$\frac{x+1}{x+9} = \frac{x}{x+11} + \frac{1}{9}$$ $$\frac{x+1}{x+9} - \frac{x}{x+11} = \frac{1}{9}$$ $$\frac{(x+1)(x+11) - x(x+9)}{(x+9)(x+11)} = \frac{1}{9}$$ $$\frac{x^2 + 12x + 11 - x^2 - 9x}{x^2 + 20x + 99} = \frac{1}{9}$$ $$\frac{3x + 11}{x^2 + 20x + 99} = \frac{1}{9}$$ $$9(3x+11) = x^2 + 20x + 99$$ $$27x + 99 = x^2 + 20x + 99$$ $$x^2 - 7x = 0$$ $$x(x-7) = 0$$ $$x=0$$ или $$x=7$$ Если $$x=0$$, то дробь равна $$\frac{0}{11} = 0$$. После изменения дробь равна $$\frac{1}{9}$$, что больше 0 на $$\frac{1}{9}$$. Если $$x=7$$, то дробь равна $$\frac{7}{18}$$. После изменения дробь равна $$\frac{8}{16} = \frac{1}{2}$$. $$\frac{1}{2} - \frac{7}{18} = \frac{9 - 7}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$$ Ответ: $$\frac{0}{11}$$ или $$\frac{7}{18}$$