5. При каких значениях а уравнение х² + 8ax - 15a + 1 = 0 имеет два действительных корня?

Уравнение $$x^2 + 8ax - 15a + 1 = 0$$ имеет два действительных корня, если дискриминант больше нуля.

$$D = (8a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15a + 1) = 64a^2 + 60a - 4$$

Решим неравенство $$64a^2 + 60a - 4 > 0$$.

$$16a^2 + 15a - 1 > 0$$

Найдем корни уравнения $$16a^2 + 15a - 1 = 0$$.

$$D = 15^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 225 + 64 = 289$$

$$a_1 = \frac{-15 + \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{-15 + 17}{32} = \frac{2}{32} = \frac{1}{16}$$

$$a_2 = \frac{-15 - \sqrt{289}}{2 \cdot 16} = \frac{-15 - 17}{32} = \frac{-32}{32} = -1$$

Тогда $$16a^2 + 15a - 1 = 16(a - \frac{1}{16})(a + 1)$$.

Решим неравенство $$16(a - \frac{1}{16})(a + 1) > 0$$.

Метод интервалов:

       +               -               +
-------(-1)-------(1/16)--------> a

$$a \in (-\infty; -1) \cup (\frac{1}{16}; +\infty)$$.

Ответ: $$(-\infty; -1) \cup (\frac{1}{16}; +\infty)$$.