5. При каких значениях а уравнение х²- 6ax - 8a+1=0 не имеет корней?

Квадратное уравнение не имеет корней, если его дискриминант меньше нуля:

$$x^2 - 6ax - 8a + 1 = 0$$ $$D = (-6a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8a + 1) < 0$$ $$36a^2 + 32a - 4 < 0$$ $$9a^2 + 8a - 1 < 0$$

Найдем корни квадратного уравнения $$9a^2 + 8a - 1 = 0$$:

$$D_1 = 8^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-1) = 64 + 36 = 100 = 10^2$$ $$a_1 = \frac{-8 + 10}{18} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$$ $$a_2 = \frac{-8 - 10}{18} = \frac{-18}{18} = -1$$

Отметим корни на числовой прямой и определим знаки функции на каждом интервале:

      +               -               +
------------(-1)------------(1/9)------------>

Выбираем интервалы, где функция меньше нуля.

Ответ: $$a \in (-1; \frac{1}{9})$$.