9. При каких значениях переменной х числа 3х+1; х+5; х-7 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите эти числа.

Пошаговое решение:

• Свойство геометрической прогрессии: \[b_n^2 = b_{n-1} \cdot b_{n+1}\]
• Подставляем заданные значения: \[(x+5)^2 = (3x+1)(x-7)\]
• Раскрываем скобки: \[x^2 + 10x + 25 = 3x^2 - 21x + x - 7\]\[x^2 + 10x + 25 = 3x^2 - 20x - 7\]
• Переносим все в одну сторону: \[2x^2 - 30x - 32 = 0\]
• Делим на 2: \[x^2 - 15x - 16 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение: \[D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 225 + 64 = 289\]\[x_1 = \frac{15 + \sqrt{289}}{2} = \frac{15 + 17}{2} = \frac{32}{2} = 16\]\[x_2 = \frac{15 - \sqrt{289}}{2} = \frac{15 - 17}{2} = \frac{-2}{2} = -1\]
• Найдем числа для x = 16: \[3 \cdot 16 + 1 = 49\]\[16 + 5 = 21\]\[16 - 7 = 9\]
• Найдем числа для x = -1: \[3 \cdot (-1) + 1 = -2\]\[-1 + 5 = 4\]\[-1 - 7 = -8\]

Ответ: При x = 16 числа 49, 21, 9; при x = -1 числа -2, 4, -8