При каком значении х значения выражений х + 1, x + 5 и 2х + 4 будут последовательными членами геометрической прогрессии? Найдите члены этой прогрессии.

Решение:

1. Для того чтобы выражения \( x+1, x+5, 2x+4 \) были последовательными членами геометрической прогрессии, отношение последующего члена к предыдущему должно быть постоянным (знаменатель прогрессии \( q \)).
2. Составим уравнение: \( \frac{x+5}{x+1} = \frac{2x+4}{x+5} \).
3. Решим уравнение, перемножив крест-накрест: \( (x+5)^2 = (x+1)(2x+4) \).
4. Раскроем скобки: \( x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 4x + 2x + 4 \) \( x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 6x + 4 \).
5. Перенесём все члены в одну сторону: \( 2x^2 - x^2 + 6x - 10x + 4 - 25 = 0 \) \( x^2 - 4x - 21 = 0 \).
6. Решим квадратное уравнение, например, с помощью дискриминанта: \( D = (-4)^2 - 4(1)(-21) = 16 + 84 = 100 \). \( x_1 = \frac{4 + \sqrt{100}}{2} = \frac{4+10}{2} = 7 \). \( x_2 = \frac{4 - \sqrt{100}}{2} = \frac{4-10}{2} = -3 \).
7. Найдем члены прогрессии для каждого значения \( x \):
   • Если \( x = 7 \): \( x+1 = 8 \), \( x+5 = 12 \), \( 2x+4 = 2(7)+4 = 14+4 = 18 \). Прогрессия: 8, 12, 18. Знаменатель \( q = 12/8 = 3/2 \).
   • Если \( x = -3 \): \( x+1 = -2 \), \( x+5 = 2 \), \( 2x+4 = 2(-3)+4 = -6+4 = -2 \). Прогрессия: -2, 2, -2. Знаменатель \( q = 2/(-2) = -1 \).

Ответ: при x = 7 члены прогрессии 8, 12, 18; при x = -3 члены прогрессии -2, 2, -2.