21. Пристани Аи Врасположены на реке, скорость течения которой на этом участке равна 3 км/ч. Лодка проходит туда и обратно без остановок со средней скоростью 8 км/ч. Найдите собственную скорость лодки.

Ответ: 8.65 км/ч

• Обозначим собственную скорость лодки как v. Скорость течения реки u = 3 км/ч.
• Пусть расстояние между пристанями равно S.
• Время, затраченное на путь из А в В (против течения): \[t_1 = \frac{S}{v - u} = \frac{S}{v - 3}\]
• Время, затраченное на путь из В в А (по течению): \[t_2 = \frac{S}{v + u} = \frac{S}{v + 3}\]
• Общее время в пути: \[t = t_1 + t_2 = \frac{S}{v - 3} + \frac{S}{v + 3}\]
• Средняя скорость: \[v_{ср} = \frac{2S}{t} = 8\]
• Тогда: \[\frac{2S}{\frac{S}{v - 3} + \frac{S}{v + 3}} = 8\]
• Упрощаем: \[\frac{2}{\frac{1}{v - 3} + \frac{1}{v + 3}} = 8\]
• Приведем к общему знаменателю: \[\frac{2}{\frac{v + 3 + v - 3}{(v - 3)(v + 3)}} = 8\]
• Далее: \[\frac{2}{\frac{2v}{v^2 - 9}} = 8\] \[\frac{v^2 - 9}{v} = 8\] \[v^2 - 9 = 8v\] \[v^2 - 8v - 9 = 0\]
• Решаем квадратное уравнение:
• Дискриминант: \[D = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-9) = 64 + 36 = 100\]
• Корни: \[v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 + \sqrt{100}}{2} = \frac{8 + 10}{2} = 9\] \[v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{8 - \sqrt{100}}{2} = \frac{8 - 10}{2} = -1\]
• Так как скорость не может быть отрицательной, то собственная скорость лодки: \[v = 9 \text{ км/ч}\]

Ответ: 9 км/ч