3. Проекции катетов прямоугольного треугольника на гипотенузу равны 18 см и 32 см. Найдите меньший катет данного треугольника.

Пусть (a) и (b) - катеты прямоугольного треугольника, (c) - гипотенуза, а (a_c) и (b_c) - проекции катетов (a) и (b) на гипотенузу соответственно. Тогда по теореме о проекциях катетов имеем:

$$ a^2 = c \cdot a_c $$ $$ b^2 = c \cdot b_c $$

В нашем случае, (a_c = 18) см и (b_c = 32) см. Тогда гипотенуза (c = a_c + b_c = 18 + 32 = 50) см.

Подставим известные значения в формулы:

$$ a^2 = 50 \cdot 18 = 900 $$ $$ b^2 = 50 \cdot 32 = 1600 $$

Следовательно,

$$ a = \sqrt{900} = 30 \text{ см} $$ $$ b = \sqrt{1600} = 40 \text{ см} $$

Меньший катет равен 30 см.

Ответ: 30 см