Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике. Теорема об окружности, описанной около треугольника (формулировка и доказательство). Найдите площадь прямоугольника, если одна из его сторон равна 5 см, а угол между диагоналями равен 60°.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике:

Высота, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу на отрезки, пропорциональные катетам.

Теорема об окружности, описанной около треугольника:

Около любого треугольника можно описать окружность, и притом только одну. Центр описанной окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. Радиус описанной окружности равен \( \frac{a}{2 \sin A} \), где \( a \) - сторона треугольника, \( A \) - противолежащий угол.

Доказательство теоремы:

Доказательство можно найти в учебниках геометрии или онлайн-ресурсах, посвященных геометрии окружностей.

Задача:

Пусть одна сторона прямоугольника равна 5 см. Угол между диагоналями равен 60°. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам. Значит, образовался равнобедренный треугольник с углом 60° при вершине. Следовательно, этот треугольник равносторонний. Значит, диагональ прямоугольника тоже равна 5 см.

Другая сторона прямоугольника является катетом в прямоугольном треугольнике, образованном сторонами прямоугольника и диагональю. Диагональ является гипотенузой. По теореме Пифагора, другая сторона равна \( \sqrt{5^2 - 5^2} \).

Пусть другая сторона равна \( b \), тогда \( b = \sqrt{5^2 - 5^2} \). Но это невозможно, так как получается, что сторона равна 0.

Угол между диагоналями равен 60°, значит, половина угла равна 30°. В прямоугольном треугольнике, образованном половинами сторон прямоугольника и диагональю, катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, половина стороны прямоугольника равна \( \frac{5}{2} \). Значит, другая сторона прямоугольника равна \( 5 \).

Тогда, другая сторона равна \( a \cdot tg30 \).

Сторона а =5. Тогда вторая сторона \( b = \frac{5}{\sqrt{3}} \).

Площадь \( S = 5 \cdot \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{25}{\sqrt{3}} \).

Площадь прямоугольника равна: \( S = 5 \cdot \frac{5 \sqrt{3}}{3} = \frac{25 \sqrt{3}}{3} \) см²

Ответ: \( \frac{25 \sqrt{3}}{3} \) см².