6. Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и C в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD = 42, BC = 14, CF:DF = 4:3.

Пусть $$AD$$ и $$BC$$ - основания трапеции, $$AD = 42$$, $$BC = 14$$. Прямая $$EF$$ параллельна основаниям и пересекает боковую сторону $$CD$$ в точке $$F$$ так, что $$CF:FD = 4:3$$. Нужно найти длину отрезка $$EF$$. Воспользуемся свойством пропорциональных отрезков в трапеции: $$EF = \frac{DF \cdot BC + CF \cdot AD}{CD}$$ Так как $$CF:DF = 4:3$$, то $$CF = 4x$$, $$DF = 3x$$, а $$CD = CF + DF = 4x + 3x = 7x$$. Подставим значения в формулу: $$EF = \frac{3x \cdot 14 + 4x \cdot 42}{7x} = \frac{42x + 168x}{7x} = \frac{210x}{7x} = 30$$ Ответ: 30