6 Прямая пересекает стороны АВ и ВС треугольника АВС в точках К и № соответственно. Известно, что АВ=12, ВC-15, AC=21, CN=7, АК-2. Найдите длину отрезка К№.

Рассмотрим треугольники ABC и KNC. Вычислим отношения сторон:

$$\frac{BC}{NC} = \frac{15}{7}$$ $$\frac{AC}{KC} = \frac{21}{10}$$ $$\frac{AB}{KB} = \frac{12}{2} = 6$$

Т.к. пропорциональность сторон не выполняется, то треугольники ABC и KNC не подобны.

Из условия следует, что прямая KN пересекает стороны AB и BC, но в задании указано «К№», надо полагать, что это опечатка и имеется ввиду KN.

По теореме косинусов найдем угол B в треугольнике ABC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos{B}$$ $$21^2 = 12^2 + 15^2 - 2 \cdot 12 \cdot 15 \cdot \cos{B}$$ $$441 = 144 + 225 - 360 \cdot \cos{B}$$ $$441 = 369 - 360 \cdot \cos{B}$$ $$360 \cdot \cos{B} = 369 - 441$$ $$360 \cdot \cos{B} = -72$$ $$\cos{B} = -\frac{72}{360} = -\frac{1}{5}$$

Рассмотрим треугольник KBN, в котором KB = AB - AK = 12 - 2 = 10. BN = BC - NC = 15 - 7 = 8.

По теореме косинусов найдем KN:

$$KN^2 = KB^2 + BN^2 - 2 \cdot KB \cdot BN \cdot \cos{B}$$ $$KN^2 = 10^2 + 8^2 - 2 \cdot 10 \cdot 8 \cdot \left(-\frac{1}{5}\right)$$ $$KN^2 = 100 + 64 + 32 = 196$$ $$KN = \sqrt{196} = 14$$

Ответ: 14