5. Прямая (y = 3x + 1) является касательной к графику функции (f(x) = \frac{1}{8}x^2 + 2x + c). Найдите (c).

Если прямая (y = 3x + 1) является касательной к графику функции (f(x) = \frac{1}{8}x^2 + 2x + c), то в точке касания должны выполняться два условия: 1. Значения функции и прямой должны быть равны. 2. Производная функции в точке касания должна быть равна угловому коэффициенту касательной. Решение: 1. Находим производную функции (f(x)): $$f'(x) = \frac{1}{4}x + 2$$ 2. Приравниваем производную к угловому коэффициенту касательной (3): $$\frac{1}{4}x + 2 = 3$$ $$\frac{1}{4}x = 1$$ $$x = 4$$ 3. Находим значение функции и касательной в точке (x = 4): * Касательная: (y = 3(4) + 1 = 12 + 1 = 13) * Функция: (f(4) = \frac{1}{8}(4)^2 + 2(4) + c = \frac{16}{8} + 8 + c = 2 + 8 + c = 10 + c) 4. Приравниваем значения функции и касательной: $$10 + c = 13$$ $$c = 13 - 10$$ $$c = 3$$ Ответ: c = 3