7) Прямоугольные треугольники АВС и ABD имеют общую гипотенузу АВ. Известно, что АС =BD. Докажите, что AD || BC.

Дано:

• Треугольники АВС и ABD - прямоугольные, ∠C = ∠D = 90°
• АВ - общая гипотенуза
• AC = BD

Доказать: AD || BC

Доказательство:

1) Рассмотрим треугольники АВС и ABD:

АС = BD (по условию)

АВ - общая гипотенуза

Следовательно, треугольники АВС и ABD равны по гипотенузе и катету (признак равенства прямоугольных треугольников).

2) Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

∠CAB = ∠DBA

3) Рассмотрим прямые AD и ВС и секущую АВ:

∠CAB и ∠DBA - накрест лежащие углы.

Если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Следовательно, AD || BC.

Ответ: AD || BC, что и требовалось доказать.