6) В равностороннем треугольнике АВС точка М – пересечение медиан. Докажите, что треугольник АМС – равнобедренный. Найдите высоту треугольника АМС, проведенную к стороне АС, если МС=14.

1) Доказательство, что треугольник АМС - равнобедренный:

В равностороннем треугольнике АВС все углы равны 60 градусам.

Точка пересечения медиан в равностороннем треугольнике является также точкой пересечения высот и биссектрис.

Медианы в точке пересечения делятся в отношении 2:1, начиная от вершины.

Так как АМ и СМ - медианы, то АМ = СМ, следовательно, треугольник АМС - равнобедренный.

2) Найдем высоту треугольника АМС, проведенную к стороне АС:

Пусть h - высота треугольника АМС, проведенная к стороне АС. Так как треугольник АМС равнобедренный, то эта высота является также медианой и биссектрисой.

Высота делит угол АМС пополам, поэтому угол АМН равен половине угла АМС. Угол АМС равен углу АОВ, где О - центр треугольника АВС. Угол АОВ равен 120 градусам, так как он опирается на дугу в 1/3 окружности.

Таким образом, угол АМН равен 60 градусам.

Тогда высота h равна МС * sin(60°) = 14 * $${\sqrt{3} \over 2}$$ = 7$${\sqrt{3}}$$.

Ответ: высота треугольника АМС, проведенную к стороне АС, равна 7$${\sqrt{3}}$$.