665. Прямые a и b пересечены параллельными прямыми AA₁, BB₁, CC₁, причём точки А, В и С лежат на прямой a, а точки A₁, B₁ и C₁ — на прямой b. Докажите, что \(\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}\).

Доказательство: Согласно теореме Фалеса (или обобщённой теореме Фалеса), если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образованные на одной стороне угла, пропорциональны отрезкам, образованным на другой стороне. В данном случае прямые AA₁, BB₁, CC₁ параллельны, а прямые a и b пересекают их. Таким образом, \(\frac{AB}{BC} = \frac{A_1B_1}{B_1C_1}\), что и требовалось доказать.