663. Стороны угла О пересечены параллельными прямыми AC и BD. Докажите, что отрезки OA и AC пропорциональны отрезкам OB и BD (рис. 225).

Решение: Проведём через точку A прямую AC₁, параллельную прямой BD. Она пересечёт CD в точке C₁. По первому признаку подобия треугольников ΔOAB ~ ΔACC₁ (∠O = ∠CAC₁, ∠OAB = ∠C), следовательно, \(\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{AC_1}\). Так как AC₁ = BD (объясните почему), то \(\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{BD}\), что и требовалось доказать. Объяснение: 1. Проводим прямую AC₁, параллельную BD. 2. Углы ∠OAB и ∠ACC₁ равны как соответственные при параллельных прямых AC₁ и BD и секущей AC. 3. Угол ∠O является общим для треугольников OAB и ACC₁. 4. Следовательно, треугольники OAB и ACC₁ подобны по двум углам (первый признак подобия). 5. Из подобия следует пропорциональность сторон: \(\frac{OA}{OB} = \frac{AC}{AC_1}\) или \(\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{AC_1}\). 6. Так как AC₁ = BD, то \(\frac{OA}{AC} = \frac{OB}{BD}\), что и требовалось доказать.