669. Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12 : 5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC и высотой BD. Центр вписанной окружности O делит высоту BD в отношении 12:5, считая от вершины B. Это значит, что BO : OD = 12 : 5. Пусть BO = 12x и OD = 5x. Тогда высота BD = BO + OD = 12x + 5x = 17x. Так как O — центр вписанной окружности, OD — радиус вписанной окружности, проведённый к стороне AC. Пусть E — середина AC. Тогда AE = EC = \(\frac{AC}{2}\). Также BE — биссектриса угла ABC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. Так как треугольник равнобедренный, AB = BC = 60 см. Применим теорему Пифагора: \(AB^2 = AD^2 + BD^2\). \(60^2 = AD^2 + (17x)^2\) \(3600 = AD^2 + 289x^2\) Также известно, что \(OD = r = \frac{площадь}{полупериметр}\). Площадь треугольника ABC равна \(\frac{1}{2} * AC * BD = \frac{1}{2} * 2 * AD * 17x = 17ADx\). Полупериметр равен \(\frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{60 + 60 + 2AD}{2} = 60 + AD\). Тогда \(5x = \frac{17ADx}{60 + AD}\) \(5 = \frac{17AD}{60 + AD}\) \(300 + 5AD = 17AD\) \(12AD = 300\) \(AD = 25\) см. Тогда AC = 2 * AD = 2 * 25 = 50 см. Ответ: Основание равнобедренного треугольника равно 50 см.