Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведённую к основанию, в отношении 12:5, считая от вершины, а боковая сторона равна 60 см.

Решение:

Пусть \( ABC \) — равнобедренный треугольник с основанием \( AC \). \( BH \) — высота, проведённая к основанию \( AC \). \( O \) — центр вписанной окружности.

По условию, центр вписанной окружности делит высоту в отношении \( BO : OH = 12 : 5 \). Также известно, что высота \( BH = BO + OH \).

Обозначим \( BO = 12x \) и \( OH = 5x \). Тогда вся высота \( BH = 12x + 5x = 17x \).

Высота \( BH \) является также медианой, поэтому \( AH = HC = \frac{1}{2} AC \). \(BH \perp AC \).

В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности \( O \) лежит на высоте \( BH \). \( OH \) — радиус вписанной окружности, \( r = OH = 5x \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( AOH \). \( \tan(\∠{OAH}) = \frac{OH}{AH} = \frac{5x}{AH} \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ABH \). \( \tan(\∠{BAH}) = \frac{BH}{AH} = \frac{17x}{AH} \).

Угол \( OAH \) и \( BAH \) — это один и тот же угол \( \∠{BAC} \).

Также, \( \tan(\∠{BAC}) = \frac{BC}{AC} \) в прямоугольном треугольнике \( ABC \).

Рассмотрим треугольник \( ABH \). По теореме Пифагора: \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \).

\( 60^2 = AH^2 + (17x)^2 \)

\( 3600 = AH^2 + 289x^2 \) (1)

Для нахождения \( AH \) можно использовать свойство касательных. Пусть \( r \) — радиус вписанной окружности. \( r = OH = 5x \). \( AB = 60 \).

В прямоугольном треугольнике \( ABH \), \( \tan(\∠{BAH}) = \frac{BH}{AH} = \frac{17x}{AH} \).

Рассмотрим свойство центра вписанной окружности. \( AO \) — биссектриса угла \( \∠{BAC} \).

В прямоугольном треугольнике \( AOB \) (если \( AO \) — биссектриса, то \( \∠{BAO} = \∠{CAO} \)), но \( O \) — центр вписанной окружности, значит \( AO \) — биссектриса \( \∠{BAC} \).

В прямоугольном треугольнике \( ABH \): \( AH = AB · · · \).

Рассмотрим подобные треугольники \( AOH \) и \( ABH \) (нет, они не подобны).

Используем формулу для радиуса вписанной окружности: \( r = \frac{S}{p} \), где \( S \) — площадь треугольника, \( p \) — полупериметр.

\( S = \frac{1}{2} · AC · BH = \frac{1}{2} · (2 · AH) · 17x = AH · 17x \).

\( p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{60 + 60 + 2 · AH}{2} = 60 + AH \).

\( r = 5x \).

\( 5x = \frac{AH · 17x}{60 + AH} \).

\( 5x (60 + AH) = 17x · AH \).

Делим на \( x \) (так как \( x \) не может быть равно 0):

\( 5(60 + AH) = 17 · AH \)

\( 300 + 5 AH = 17 AH \)

\( 300 = 17 AH - 5 AH \)

\( 300 = 12 AH \)

\( AH = \frac{300}{12} = 25 \) см.

Теперь найдём основание \( AC \).

\( AC = 2 · AH = 2 · 25 = 50 \) см.

Проверка:

\( AH = 25 \). \( BH = 17x \).

Из \( AB^2 = AH^2 + BH^2 \):

\( 60^2 = 25^2 + (17x)^2 \)

\( 3600 = 625 + 289x^2 \)

\( 3600 - 625 = 289x^2 \)

\( 2975 = 289x^2 \)

\( x^2 = \frac{2975}{289} \)

\( x = \sqrt{\frac{2975}{289}} = \frac{\sqrt{2975}}{17} = \frac{\sqrt{25 \cdot 119}}{17} = \frac{5 · \sqrt{119}}{17} \).

\( BH = 17x = 17 · \frac{5 · \sqrt{119}}{17} = 5 · \sqrt{119} \).

\( r = OH = 5x = 5 · \frac{5 · \sqrt{119}}{17} = \frac{25 · \sqrt{119}}{17} \).

\( S = \frac{1}{2} · 50 · 5 · \sqrt{119} = 125 · \sqrt{119} \).

\( p = 60 + 25 = 85 \).

\( r = \frac{S}{p} = \frac{125 · \sqrt{119}}{85} = \frac{25 · \sqrt{119}}{17} \).

Значения совпадают.

Ответ: 50 см.