10. Пусть последовательность (аₙ) — арифметическая прогрессия. Докажите, что если к каждому члену этой прогрессии прибавить одно и то же число, то полученная последовательность также будет арифметической прогрессией.

Пусть дана арифметическая прогрессия aₙ и некоторое число c. Рассмотрим новую последовательность bₙ = aₙ + c.

Нам нужно доказать, что bₙ тоже является арифметической прогрессией. Для этого проверим, будет ли разность между ее соседними членами постоянной:

\[b_{n+1} - b_n = (a_{n+1} + c) - (a_n + c) = a_{n+1} - a_n\]

Так как aₙ - арифметическая прогрессия, то разность aₙ₊₁ - aₙ является постоянной величиной (равной разности d прогрессии aₙ). Следовательно, и разность bₙ₊₁ - bₙ также является постоянной величиной. А это означает, что последовательность bₙ является арифметической прогрессией.