33. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен \(8\sqrt{2}\). Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Сначала найдем сторону квадрата. Диаметр описанной окружности равен \(2 \cdot 8\sqrt{2} = 16\sqrt{2}\), и это же равно диагонали квадрата. Чтобы найти сторону квадрата, разделим диагональ на \(\sqrt{2}\): \(a = \frac{16\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 16\). Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата. Итак: 1. Радиус вписанной окружности: \(r = \frac{16}{2} = 8\). Ответ: Радиус вписанной окружности равен 8.