Радиус окружности, описанной около квадрата, равен \(36\sqrt{2}\) (см. рис. 13). Найдите радиус окружности, вписанной в этот квадрат.

Пусть R - радиус описанной окружности, а r - радиус вписанной окружности. Пусть сторона квадрата равна a.

Диагональ квадрата равна \( a\sqrt{2} \). Радиус описанной окружности равен половине диагонали квадрата:

$$R = \frac{a\sqrt{2}}{2}$$

$$a = \frac{2R}{\sqrt{2}} = R\sqrt{2}$$

Радиус вписанной окружности равен половине стороны квадрата:

$$r = \frac{a}{2} = \frac{R\sqrt{2}}{2}$$

По условию, \(R = 36\sqrt{2}\), тогда:

$$r = \frac{36\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}}{2} = \frac{36 \cdot 2}{2} = 36$$

Ответ: 36