20. Радиус окружности, описанной около треугольника АВС, равен √39. Найдите ВС, если АВ = 9 и ∠B = 60°.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой синусов, которая связывает сторону треугольника, противолежащий угол и радиус описанной окружности.

$$\frac{AC}{\sin B} = 2R$$

В нашем случае $$R = \sqrt{39}$$, $$AB = 9$$, и $$\angle B = 60^\circ$$. Нам нужно найти сторону BC. Обозначим BC как a.

Сначала найдем сторону AC, используя теорему синусов:

$$\frac{AC}{\sin 60^\circ} = 2\sqrt{39}$$ $$AC = 2\sqrt{39} \cdot \sin 60^\circ$$

Поскольку $$\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$:

$$AC = 2\sqrt{39} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$ $$AC = \sqrt{39} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$$

Теперь, когда известны стороны AB и AC, а также угол B, применим теорему косинусов для стороны AC:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B$$ $$(3\sqrt{13})^2 = 9^2 + BC^2 - 2 \cdot 9 \cdot BC \cdot \cos 60^\circ$$ $$9 \cdot 13 = 81 + BC^2 - 2 \cdot 9 \cdot BC \cdot \frac{1}{2}$$ $$117 = 81 + BC^2 - 9BC$$ $$BC^2 - 9BC - 36 = 0$$

Получили квадратное уравнение относительно BC. Решим его.

Дискриминант $$D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 81 + 144 = 225$$.

Тогда корни:

$$BC_1 = \frac{9 + \sqrt{225}}{2} = \frac{9 + 15}{2} = \frac{24}{2} = 12$$ $$BC_2 = \frac{9 - 15}{2} = \frac{-6}{2} = -3$$

Поскольку длина стороны не может быть отрицательной, $$BC = 12$$.

Ответ: 12