21. В четырёхугольник ABCD можно вписать окружность. Найдите сумму сторон ВС и CD, если АВ = 5, AD = 12, A=90° и ∠C=60°.

По условию, в четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Это означает, что суммы противоположных сторон равны: $$AB + CD = BC + AD$$. Известно, что $$AB = 5$$ и $$AD = 12$$. Следовательно, $$5 + CD = BC + 12$$, или $$CD - BC = 7$$.

Также, $$∠A = 90^\circ$$ и $$∠C = 60^\circ$$. Рассмотрим треугольник, образованный продолжениями сторон AD и BC до их пересечения в точке E. Угол AED также прямой (90°). В треугольнике CDE угол C равен 60 градусам, следовательно, угол E равен 30 градусам. $$ED = AD = 12$$

Из треугольника CDE: $$CD = 2 \cdot DE = 2 \cdot 12 = 24$$

Рассмотрим треугольник ABE: $$AB = 5, AE = \sqrt{BE^2-AB^2}$$

В четырёхугольник можно вписать окружность, значит, суммы противоположных сторон равны. Следовательно, $$BC + AD = AB + CD$$

Подставим известные значения: $$AB = 5$$ и $$AD = 12$$

Пусть CD = x, $$CD - BC =7$$, значит BC = CD -7

Следовательно, $$BC=17$$

Теперь мы можем найти сумму сторон BC и CD:

$$BC + CD = BC + BC + 7 = 17+24 = 41$$

Дано, что $$BC + AD = AB + CD$$

Стороны BC и CD $$BC+CD = AB+AD = 5+12 = 17$$

Тогда $$5 + CD = BC + 12$$, откуда $$ CD - BC = 7$$

Так как в четырехугольник ABCD можно вписать окружность, то $$AB + CD = BC + AD$$. Отсюда следует, что $$5 + CD = BC + 12$$, и, следовательно, $$CD - BC = 7$$.

Тогда$$ BC+CD = 17, CD = (17+7)/2 = 12 ; BC = (17-7)/2 = 5 $$

$$ BC+CD = 17$$

$$AB + CD = AD + BC$$

Значит, сумма сторон BC и CD:

$$BC + CD = AB + AD = 5 + 12 = 17$$

Ответ: 17