19. В треугольнике АВС АВ = 9, ВС = 6 и ∠B=60°. Найдите радиус описанной окружности треугольника АВС.

Для решения задачи воспользуемся теоремой синусов, которая связывает стороны треугольника с радиусом описанной окружности. Сначала найдем сторону AC с помощью теоремы косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(B)$$ $$AC^2 = 9^2 + 6^2 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \cos(60^\circ)$$ $$AC^2 = 81 + 36 - 2 \cdot 9 \cdot 6 \cdot \frac{1}{2}$$ $$AC^2 = 117 - 54$$ $$AC^2 = 63$$ $$AC = \sqrt{63} = 3\sqrt{7}$$

Теперь используем теорему синусов для нахождения радиуса описанной окружности R:

$$\frac{AC}{\sin(B)} = 2R$$ $$R = \frac{AC}{2\sin(B)}$$ $$R = \frac{3\sqrt{7}}{2\sin(60^\circ)}$$ $$R = \frac{3\sqrt{7}}{2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}$$ $$R = \frac{3\sqrt{7}}{\sqrt{3}}$$ $$R = \frac{3\sqrt{7}\sqrt{3}}{3}$$ $$R = \sqrt{21}$$

Ответ: √21