15. Радиус окружности с центром в точке O равен 85, длина хорды AB равна 80 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.

Пусть радиус окружности равен R, а длина хорды AB равна a. Пусть расстояние от хорды AB до центра окружности равно d, а расстояние от центра окружности до касательной k равно R. Тогда расстояние от хорды AB до касательной k равно R+d. Расстояние от центра окружности до хорды AB можно найти из прямоугольного треугольника, образованного половиной хорды, радиусом и расстоянием от центра до хорды. По теореме Пифагора: \(d = \sqrt{R^2 - (\frac{a}{2})^2}\). Подставляем значения: \(R = 85\) и \(a = 80\). \(d = \sqrt{85^2 - (\frac{80}{2})^2} = \sqrt{85^2 - 40^2} = \sqrt{7225 - 1600} = \sqrt{5625} = 75\). Расстояние от хорды AB до касательной k равно \(R + d = 85 + 75 = 160\). Ответ: 160.