393 Радиусы двух параллельных сечений сферы равны 9 см и 12 см. Расстояние между секущими плоскостями равно 3 см. Найдите площадь сферы.

Пусть радиусы сечений равны $$r_1 = 9$$ см и $$r_2 = 12$$ см, а расстояние между плоскостями равно h = 3 см.

Пусть R - радиус сферы. Центр сферы находится на перпендикуляре к плоскостям сечений, проходящем через центры этих сечений.

Пусть расстояние от центра сферы до первой плоскости равно х, тогда расстояние до второй плоскости равно $$|x + 3|$$.

По теореме Пифагора:

$$R^2 = r_1^2 + x^2 = 9^2 + x^2 = 81 + x^2$$

$$R^2 = r_2^2 + (x+3)^2 = 12^2 + (x+3)^2 = 144 + x^2 + 6x + 9$$

Приравниваем выражения:

$$81 + x^2 = 153 + x^2 + 6x$$

$$6x = 81 - 153 = -72$$

$$x = -12$$

Тогда $$R^2 = 81 + (-12)^2 = 81 + 144 = 225$$

$$R = \sqrt{225} = 15$$ см.

Площадь сферы $$S = 4\pi R^2 = 4\pi (15^2) = 4\pi (225) = 900\pi$$ см².

Ответ: $$900\pi$$ см²