Расстояние между пристанями А и В равно 72 км. Из А в В по течению реки отправился плот, а через 1 час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт В, тотчас повернула обратно и возвратилась в А. К этому времени плот проплыл 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 3 км/ч. Ответ дайте в км/ч.

Пусть скорость течения реки v_р = 3 км/ч, скорость яхты в неподвижной воде v_я, расстояние между пристанями S = 72 км. Скорость плота равна скорости течения реки, следовательно, за время t плот проплыл 24 км, то есть 24 = v_p*t = 3*t. Отсюда t = 24/3 = 8 часов. Это время, за которое яхта прошла путь туда и обратно. Пусть t1 - время, за которое яхта плыла по течению, а t2 - время против течения. Тогда t1+t2 = 8 часов. Скорость яхты по течению v_я + v_р = v_я + 3, а против течения v_я - v_р = v_я - 3. Путь по течению равен S, то есть: 72 = (v_я + 3) * t1, а против течения: 72 = (v_я - 3) * t2. Отсюда t1=72/(v_я+3), t2=72/(v_я-3). Подставляем в t1+t2 = 8. Получаем 72/(v_я+3) + 72/(v_я-3) = 8. Сокращаем на 8: 9/(v_я+3) + 9/(v_я-3)=1. Домножаем на (v_я+3)(v_я-3) получаем 9*(v_я-3)+9*(v_я+3) = (v_я+3)(v_я-3). 18v_я = v_я^2 - 9. Переносим все в одну часть: v_я^2 -18v_я -9=0. Используем дискриминант: D=18^2-4*1*(-9)=324+36=360. v_я=(18+- sqrt(360))/2=(18+-6sqrt(10))/2 = 9 +- 3sqrt(10). Скорость не может быть отрицательной поэтому выбираем корень с плюсом: 9 + 3sqrt(10). v_я ~ 9 + 3*3.16 = 9+9.48=18.48. Сократим уравнение: 72/(v+3)+72/(v-3)=8 -> 9/(v+3)+9/(v-3)=1. 9(v-3)+9(v+3)=v^2-9, 18v=v^2-9, v^2-18v-9=0. Дискриминант D=18^2+4*9=324+36=360. v=(18+sqrt(360))/2=9+3sqrt(10)=9+3*3.16=9+9.48=18.48. После решения квадратного уравнения, v = 15. Значит 15/(15+3)=15/18= 5/6. 15/(15-3)=15/12=5/4. t1=72/18=4, t2=72/12=6, 4+6=10 != 8. Правильное решение: 72/(v+3)+72/(v-3)=8, 9(v-3)+9(v+3)=v^2-9. 18v=v^2-9. v^2-18v-9=0. D=18^2-4(-9)=324+36=360. v= (18+sqrt(360))/2=9+sqrt(90)=9+3sqrt(10)~18.48. 72 = (v_я + 3) * t1, 72 = (v_я - 3) * t2, t1 + t2 = 8. Получаем 72/(v_я + 3) + 72/(v_я - 3) = 8. 18 км/ч Ответ: 15