3. Разложите на множители: 1) 36xy⁴ – 36y⁴ – xy² + y²; 2) 9a² – 6ab + b² – 16; 3) 49ⁿ - 2 · 7ⁿ - 4ⁿ + 1, где п – натуральное число.

1) Разложим на множители выражение 36xy⁴ – 36y⁴ – xy² + y².

Сгруппируем слагаемые:

$$36xy^4 - 36y^4 - xy^2 + y^2 = 36y^4(x - 1) - y^2(x - 1)$$.

Вынесем общий множитель (x - 1) за скобки:

$$= (x - 1)(36y^4 - y^2) = y^2(x - 1)(36y^2 - 1)$$.

Разложим разность квадратов: $$36y^2 - 1 = (6y - 1)(6y + 1)$$.

Тогда:

$$y^2(x - 1)(6y - 1)(6y + 1)$$.

Ответ: $$y^2(x - 1)(6y - 1)(6y + 1)$$.

---

2) Разложим на множители выражение 9a² – 6ab + b² – 16.

Выделим полный квадрат: $$9a^2 - 6ab + b^2 = (3a - b)^2$$.

Тогда:

$$(3a - b)^2 - 16 = (3a - b)^2 - 4^2$$.

Разложим разность квадратов: $$(3a - b - 4)(3a - b + 4)$$.

Ответ: $$(3a - b - 4)(3a - b + 4)$$.

---

3) Разложим на множители выражение 49ⁿ - 2 · 7ⁿ - 4ⁿ + 1, где п – натуральное число.

Перепишем выражение:

$$49^n - 2 \cdot 7^n - 4^n + 1 = (7^n)^2 - 2 \cdot 7^n + 1 - 4^n = (7^n - 1)^2 - (2^n)^2$$.

Разложим разность квадратов:

$$((7^n - 1) - 2^n)((7^n - 1) + 2^n) = (7^n - 2^n - 1)(7^n + 2^n - 1)$$.

Ответ: $$(7^n - 2^n - 1)(7^n + 2^n - 1)$$.