07.14. Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23 дм, а его гипотенуза равна 37 дм. Найдите периметр треугольника.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, причем a > b. Тогда по условию:

$$a - b = 23$$

$$a^2 + b^2 = 37^2 = 1369$$

Выразим a через b: $$a = 23 + b$$

Подставим в уравнение $$a^2 + b^2 = 1369$$

{$$(23 + b)^2 + b^2 = 1369$$

$$529 + 46b + b^2 + b^2 = 1369$$

$$2b^2 + 46b - 840 = 0$$

$$b^2 + 23b - 420 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно b:

$$D = (23)^2 - 4 cdot 1 cdot (-420) = 529 + 1680 = 2209 = 47^2$$

$$b_1 = \frac{-23 + 47}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

$$b_2 = \frac{-23 - 47}{2} = \frac{-70}{2} = -35$$

Так как b не может быть отрицательным, то b = 12. Тогда $$a = 23 + 12 = 35$$.

Периметр треугольника: $$P = a + b + c = 35 + 12 + 37 = 84$$ дм.

Ответ: Периметр треугольника равен 84 дм.