5. {x + y = 4, 1 1 - - x 6 x² - y² = 8.

Решим систему уравнений:

$$ \begin{cases} x + y = 4 \\ \frac{1}{x} - \frac{1}{6} = \frac{x^2 - y^2}{8} \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение:

$$ \frac{6 - x}{6x} = \frac{(x - y)(x + y)}{8}$$

$$ \frac{6 - x}{6x} = \frac{(x - y) \cdot 4}{8}$$

$$ \frac{6 - x}{6x} = \frac{x - y}{2}$$

$$6 - x = 3x(x - y)$$

Выразим y из первого уравнения:

$$y = 4 - x$$

Подставим во второе уравнение:

$$6 - x = 3x(x - (4 - x))$$

$$6 - x = 3x(2x - 4)$$

$$6 - x = 6x^2 - 12x$$

$$6x^2 - 11x - 6 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 121 + 144 = 265$$

$$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 + \sqrt{265}}{12}$$

$$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{11 - \sqrt{265}}{12}$$

Найдем соответствующие значения y:

$$y_1 = 4 - x_1 = 4 - \frac{11 + \sqrt{265}}{12} = \frac{48 - 11 - \sqrt{265}}{12} = \frac{37 - \sqrt{265}}{12}$$

$$y_2 = 4 - x_2 = 4 - \frac{11 - \sqrt{265}}{12} = \frac{48 - 11 + \sqrt{265}}{12} = \frac{37 + \sqrt{265}}{12}$$

Ответ: ($$\frac{11 + \sqrt{265}}{12}$$; $$\frac{37 - \sqrt{265}}{12}$$), ($$\frac{11 - \sqrt{265}}{12}$$; $$\frac{37 + \sqrt{265}}{12}$$)