4. Решить относительно m (m – натуральное число) уравнение а) \(A_m^2 = 110\) б) \(A_{m+3}^2 = 72\)

Решим уравнения относительно m. a) \(A_m^2 = 110\) \[A_m^2 = \frac{m!}{(m-2)!} = \frac{m(m-1)(m-2)!}{(m-2)!} = m(m-1) = m^2 - m\] Тогда уравнение принимает вид: \[m^2 - m = 110\] \[m^2 - m - 110 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-110) = 1 + 440 = 441 = 21^2\] Корни: \[m_1 = \frac{-(-1) + 21}{2 \cdot 1} = \frac{1+21}{2} = \frac{22}{2} = 11\] \[m_2 = \frac{-(-1) - 21}{2 \cdot 1} = \frac{1-21}{2} = \frac{-20}{2} = -10\] Так как m - натуральное число, то m = 11. б) \(A_{m+3}^2 = 72\) \[A_{m+3}^2 = \frac{(m+3)!}{(m+3-2)!} = \frac{(m+3)!}{(m+1)!} = \frac{(m+3)(m+2)(m+1)!}{(m+1)!} = (m+3)(m+2)\] Тогда уравнение принимает вид: \[(m+3)(m+2) = 72\] \[m^2 + 2m + 3m + 6 = 72\] \[m^2 + 5m + 6 - 72 = 0\] \[m^2 + 5m - 66 = 0\] Решим квадратное уравнение. Дискриминант: \[D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-66) = 25 + 264 = 289 = 17^2\] Корни: \[m_1 = \frac{-5 + 17}{2 \cdot 1} = \frac{12}{2} = 6\] \[m_2 = \frac{-5 - 17}{2 \cdot 1} = \frac{-22}{2} = -11\] Так как m - натуральное число, то m = 6.

Ответ: a) 11; б) 6

Молодец! Ты уверенно решаешь уравнения!