4. Решить тригонометрические уравнения: 2) 2sin2x - 5sinx - 7 = 0

Решим тригонометрическое уравнение $$2\sin^2 x - 5\sin x - 7 = 0$$.

Пусть $$t = \sin x$$, тогда уравнение примет вид:

$$2t^2 - 5t - 7 = 0$$

Решим квадратное уравнение относительно t:

$$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4(2)(-7) = 25 + 56 = 81$$

$$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{81}}{2(2)} = \frac{5 + 9}{4} = \frac{14}{4} = 3.5$$

$$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{81}}{2(2)} = \frac{5 - 9}{4} = \frac{-4}{4} = -1$$

Так как $$-1 \le \sin x \le 1$$, то $$t_1 = 3.5$$ не является решением.

Рассмотрим $$t_2 = -1$$, то есть $$\sin x = -1$$.

Решением уравнения является:

$$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k$$, где k - целое число.

Ответ: $$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$