Решить уравнение: \(3+2\log_{x+1}3=2\log_3(x+1)\).

ОДЗ для основания логарифма: \(x+1>0\) и \(x+1\ne1\). Обозначим \(a=\log_3(x+1)\). Тогда по свойству взаимно обратных логарифмов \(\log_{x+1}3=\frac1a\), причём \(a\ne0\).

Подставим: \(3+\frac2a=2a\). Умножая на \(a\), получим \(2a^2-3a-2=0\).

\((2a+1)(a-2)=0\), поэтому \(a=2\) или \(a=-\frac12\).

Если \(a=2\), то \(x+1=3^2=9\), откуда \(x=8\). Если \(a=-\frac12\), то \(x+1=3^{-1/2}=\frac1{\sqrt3}\), откуда \(x=\frac1{\sqrt3}-1\). Оба значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: \(x=8;\ \frac1{\sqrt3}-1\).