Решить уравнение: \(\log_3 x\cdot\log_2 x=4\log_3 2\).

ОДЗ: \(x>0\). Обозначим \(t=\log_2 x\). По формуле перехода к другому основанию \(\log_3 x=t\log_3 2\). Подставим:

\(t^2\log_3 2=4\log_3 2\).

Так как \(\log_3 2\ne0\), получаем \(t^2=4\), значит, \(t=2\) или \(t=-2\).

Следовательно, \(x=2^2=4\) или \(x=2^{-2}=\frac14\). Оба значения входят в ОДЗ.

Ответ: \(x=\frac14;\ 4\).