6. Решить уравнения, сводящиеся к квадратным: a) 2sin2x = 1; 6) 2cos2x + cosx- 3 = 0; B) 3tg²x+tgx-2=0; r) 2cos2x + 3sinx = 0;.

Пошаговое решение:

• а) 2sin²x = 1
  \( sin^2x = \frac{1}{2} \)
  \( sinx = ±\frac{1}{\sqrt{2}} = ±\frac{\sqrt{2}}{2} \)
  \( x = ±\frac{π}{4} + πn \), где n — целое число.
• б) 2cos²x + cosx - 3 = 0
  Пусть \( y = cosx \), тогда \( 2y^2 + y - 3 = 0 \).
  Решаем квадратное уравнение: \( D = 1 + 4 \cdot 2 \cdot 3 = 25 \).
  \( y_1 = \frac{-1 + 5}{4} = 1 \), \( y_2 = \frac{-1 - 5}{4} = -\frac{3}{2} \).
  Так как \( -1 ≤ cosx ≤ 1 \), то \( cosx = 1 \), \( x = 2πn \), где n — целое число.
• в) 3tg²x + tgx - 2 = 0
  Пусть \( y = tgx \), тогда \( 3y^2 + y - 2 = 0 \).
  Решаем квадратное уравнение: \( D = 1 + 4 \cdot 3 \cdot 2 = 25 \).
  \( y_1 = \frac{-1 + 5}{6} = \frac{2}{3} \), \( y_2 = \frac{-1 - 5}{6} = -1 \).
  \( tgx = \frac{2}{3} \), \( x = arctg(\frac{2}{3}) + πn \), где n — целое число.
  \( tgx = -1 \), \( x = -\frac{π}{4} + πn \), где n — целое число.
• г) 2cos²x + 3sinx = 0
  Используем тождество \( cos^2x = 1 - sin^2x \): \( 2(1 - sin^2x) + 3sinx = 0 \).
  \( 2 - 2sin^2x + 3sinx = 0 \), \( 2sin^2x - 3sinx - 2 = 0 \).
  Пусть \( y = sinx \), тогда \( 2y^2 - 3y - 2 = 0 \).
  Решаем квадратное уравнение: \( D = 9 + 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 \).
  \( y_1 = \frac{3 + 5}{4} = 2 \), \( y_2 = \frac{3 - 5}{4} = -\frac{1}{2} \).
  Так как \( -1 ≤ sinx ≤ 1 \), то \( sinx = -\frac{1}{2} \), \( x = -\frac{π}{6} + 2πn \) или \( x = \frac{7π}{6} + 2πn \), где n — целое число.

Ответ: а) \( x = ±\frac{π}{4} + πn \); б) \( x = 2πn \); в) \( x = arctg(\frac{2}{3}) + πn \), \( x = -\frac{π}{4} + πn \); г) \( x = -\frac{π}{6} + 2πn \), \( x = \frac{7π}{6} + 2πn \)