5) Решить задачу: Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Пусть один из острых углов равен \(x\), тогда другой равен \(2x\). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна \(90^\circ\). \[x + 2x = 90^\circ\] \[3x = 90^\circ\] \[x = 30^\circ\] Тогда углы равны \(30^\circ\) и \(60^\circ\). Пусть \(a\) - меньший катет (против угла \(30^\circ\)), \(c\) - гипотенуза. По условию, \(c - a = 15\). Так как катет, лежащий против угла в \(30^\circ\), равен половине гипотенузы, то \(a = \frac{1}{2}c\). Подставим это в уравнение: \[c - \frac{1}{2}c = 15\] \[\frac{1}{2}c = 15\] \[c = 30\] Тогда \(a = \frac{1}{2} cdot 30 = 15\). Ответ: Гипотенуза равна \(\mathbf{30}\) см, меньший катет равен \(\mathbf{15}\) см.