5. Решите методом интервалов неравенство: a) (x-3)(x+2)<0; б) (x+6)(x-4)(x-7)≤0.

а) (x - 3)(x + 2) < 0

• Шаг 1: Найдем корни уравнения (x - 3)(x + 2) = 0

Корни: x = 3, x = -2

• Шаг 2: Отметим корни на числовой прямой.

Интервалы: (-∞; -2), (-2; 3), (3; +∞)

• Шаг 3: Определим знаки выражения на каждом интервале.

• Интервал (-∞; -2): подставим x = -3, получим (-6)(-1) = 6 > 0
• Интервал (-2; 3): подставим x = 0, получим (-3)(2) = -6 < 0
• Интервал (3; +∞): подставим x = 4, получим (1)(6) = 6 > 0

Ответ: Решением неравенства (x - 3)(x + 2) < 0 является интервал (-2; 3).

б) (x + 6)(x - 4)(x - 7) ≤ 0

• Шаг 1: Найдем корни уравнения (x + 6)(x - 4)(x - 7) = 0

Корни: x = -6, x = 4, x = 7

• Шаг 2: Отметим корни на числовой прямой.

Интервалы: (-∞; -6], [-6; 4], [4; 7], [7; +∞)

• Шаг 3: Определим знаки выражения на каждом интервале.

• Интервал (-∞; -6): подставим x = -7, получим (-1)(-11)(-14) = -154 < 0
• Интервал [-6; 4]: подставим x = 0, получим (6)(-4)(-7) = 168 > 0
• Интервал [4; 7]: подставим x = 5, получим (11)(1)(-2) = -22 < 0
• Интервал [7; +∞): подставим x = 8, получим (14)(4)(1) = 56 > 0

Ответ: Решением неравенства (x + 6)(x - 4)(x - 7) ≤ 0 являются интервалы (-∞; -6] ∪ [4; 7].