6. Решите неравенство: a) x³-9x≥0; б) x-3/x+4<0.

а) x³ - 9x ≥ 0

• Шаг 1: Разложим выражение на множители.

x(x² - 9) ≥ 0 x(x - 3)(x + 3) ≥ 0

• Шаг 2: Найдем корни уравнения x(x - 3)(x + 3) = 0

Корни: x = -3, x = 0, x = 3

• Шаг 3: Отметим корни на числовой прямой и определим знаки на интервалах.

Интервалы: (-∞; -3], [-3; 0], [0; 3], [3; +∞)

• Шаг 4: Определим знаки выражения на каждом интервале.

• Интервал (-∞; -3]: подставим x = -4, получим (-4)(-7)(-1) = -28 < 0
• Интервал [-3; 0]: подставим x = -1, получим (-1)(-4)(2) = 8 > 0
• Интервал [0; 3]: подставим x = 1, получим (1)(-2)(4) = -8 < 0
• Интервал [3; +∞): подставим x = 4, получим (4)(1)(7) = 28 > 0

Ответ: Решением неравенства x³ - 9x ≥ 0 являются интервалы [-3; 0] ∪ [3; +∞).

б) (x - 3) / (x + 4) < 0

• Шаг 1: Найдем значения, при которых числитель или знаменатель равны нулю.

Числитель: x - 3 = 0 → x = 3 Знаменатель: x + 4 = 0 → x = -4

• Шаг 2: Отметим эти значения на числовой прямой и определим знаки на интервалах.

Интервалы: (-∞; -4), (-4; 3), (3; +∞)

• Шаг 3: Определим знаки выражения на каждом интервале.

• Интервал (-∞; -4): подставим x = -5, получим (-8) / (-1) = 8 > 0
• Интервал (-4; 3): подставим x = 0, получим (-3) / (4) = -0.75 < 0
• Интервал (3; +∞): подставим x = 4, получим (1) / (8) = 0.125 > 0

Ответ: Решением неравенства (x - 3) / (x + 4) < 0 является интервал (-4; 3).