3. Решите неравенство: a) x²-10x+21<0; в) 2х²-6x≤0; д) 0,5x²-3x+4,5<0; б) x²+6x-7>0; г) 5x²+8>0; e) 8x²-32<0.

a) x² - 10x + 21 < 0

• Шаг 1: Найдем корни уравнения x² - 10x + 21 = 0

D = (-10)² - 4 * 1 * 21 = 100 - 84 = 16 \[x_1 = \frac{10 + \sqrt{16}}{2} = \frac{10 + 4}{2} = 7\] \[x_2 = \frac{10 - \sqrt{16}}{2} = \frac{10 - 4}{2} = 3\]

• Шаг 2: Определим интервалы и знаки неравенства.

Интервалы: (-∞; 3), (3; 7), (7; +∞)

• Шаг 3: Решением является интервал (3; 7).

Ответ: (3; 7)

б) x² + 6x - 7 > 0

• Шаг 1: Найдем корни уравнения x² + 6x - 7 = 0

D = 6² - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64 \[x_1 = \frac{-6 + \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 + 8}{2} = 1\] \[x_2 = \frac{-6 - \sqrt{64}}{2} = \frac{-6 - 8}{2} = -7\]

• Шаг 2: Определим интервалы и знаки неравенства.

Интервалы: (-∞; -7), (-7; 1), (1; +∞)

• Шаг 3: Решением является (-∞; -7) ∪ (1; +∞).

Ответ: (-∞; -7) ∪ (1; +∞)

в) 2x² - 6x ≤ 0

• Шаг 1: Найдем корни уравнения 2x² - 6x = 0

2x(x - 3) = 0 x_1 = 0 x_2 = 3

• Шаг 2: Определим интервалы и знаки неравенства.

Интервалы: (-∞; 0], [0; 3], [3; +∞)

• Шаг 3: Решением является [0; 3].

Ответ: [0; 3]

г) 5x² + 8 > 0

• Поскольку 5x² всегда неотрицательно, а 5x² + 8 всегда больше 0, решением является любое x.

Ответ: (-∞; +∞)

д) 0,5x² - 3x + 4,5 < 0

• Шаг 1: Найдем корни уравнения 0,5x² - 3x + 4,5 = 0

D = (-3)² - 4 * 0.5 * 4.5 = 9 - 9 = 0 \[x = \frac{3}{2 * 0.5} = 3\]

• Поскольку дискриминант равен нулю, уравнение имеет только один корень, и неравенство не имеет решений.

Ответ: ∅ (нет решений)

e) 8x² - 32 < 0

• Шаг 1: Найдем корни уравнения 8x² - 32 = 0

8x² = 32 x² = 4 x_1 = 2 x_2 = -2

• Шаг 2: Определим интервалы и знаки неравенства.

Интервалы: (-∞; -2), (-2; 2), (2; +∞)

• Шаг 3: Решением является (-2; 2).

Ответ: (-2; 2)